En su Recomendación del día, Fundéu señala las diferencias entre con que, con qué y conque. Con que equivale a con el cual, con la cual; con qué se usa para preguntar; y conque tiene valor consecutivo, tal como indica el Diccionario panhispánico de dudas, equivalente a así que.
La locución con que está constituida por la preposición con y el relativo que: «Esa es el arma con que dispararon al taxista». En estos casos también se puede intercalar el artículo entre la preposición con y el relativo que: «Esa es el arma con la que dispararon al taxista». Cuando se construye con la preposición con y la conjunción que, no se intercala ningún artículo, como en «Para llevar a cabo el proyecto basta con que el director lo apruebe».
La forma con qué está constituida por la preposición con y el interrogativo o exclamativo qué (este qué siempre es tónico y lleva tilde). Puede aparecer tanto en oraciones interrogativas o exclamativas directas como en oraciones interrogativas o exclamativas indirectas. Directas: «¿Con qué se escribió este texto?», «¿Con qué votos cuenta el partido?» o «¡Con qué paciencia trataba al público!». Indirectas: «No sé con qué se escribió este texto» o «Me pregunto con qué votos cuenta el partido».
Observese que en las oraciones interrogativas o exclamativas indirectas no aparecen los signos de interrogación o exclamación, frente a lo que ocurre con las oraciones interrogativas o exclamativas directas.
Conque es una conjunción ilativa y es palabra átona. Equivale a así que, por tanto, por consiguiente: «Ya se resolvió la situación del equipo; conque ahora todos estaremos más tranquilos».
En términos generales, la locución con que puede reemplazarse por con el cual, con la cual y sus plurales; con qué se utiliza en las preguntas y exclamaciones y conque expresa consecuencia, y puede reemplazarse por así que.